ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ – ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Περιγραφή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΟΙΟΣ ΤΡΑΓΟΥΔΗΣΕ ΤΟ ΤΡΑΓΟΥΔΙ ΣΤΟ ΡΟΜΠΕΝ ΤΩΝ ΔΑΣΩΝ;

Πριν πολλά χρόνια, κάπου μακριά, στο ομιχλώδες δάσος του Σέργουντ, ζούσε στην παρανομία ο Ρομπέν των Δασών με τους ανθρώπους του. Συνολικά, ήταν 10.201 άνθρωποι. Όλοι τους είχαν από ένα σύντροφο στη ζωή, εκτός από τον καλόγερο. Καθένας τους είχε συνθέσει από ένα τραγούδι. Τους άρεσε πολύ να τραγουδάνε· ήταν κάτι σαν κολλητική ασθένεια!

Κάθε ένας από τους παραπάνω ανθρώπους τραγούδησε από ένα τραγούδι σε κάθε έναν από τους υπόλοιπους. Έτσι, όλοι τους τελικά άκουσαν όλα τα τραγούδια (αυτό περιλαμβάνει το γεγονός ότι το τραγούδι που κάποιος συνέθεσε, κάποιος τραγουδιστής οπωσδήποτε του το τραγούδησε). Ο καλόγερος, στον οποίο κάθε άτομο τραγούδησε κάποιο τραγούδι, είχε συνθέσει ένα τραγούδι που ο καθένας το τραγούδησε στον εαυτό του. Ο καλόγερος, επίσης, τραγούδησε σε κάθε άτομο το τραγούδι που είχε συν- θέσει ο σύντροφος του ατόμου αυτού και, μια που ο ίδιος δεν είχε σύντροφο, τραγούδησε ο ίδιος στον εαυτό του τη δική του σύνθεση.

Κάθε τραγουδιστής που τραγούδησε στο πρώτο άτομο το τραγούδι του τραγουδιστή του τραγουδιού του δεύτερου ατόμου σε ένα τρίτο, ήταν ο ίδιος τραγουδιστής που τραγούδησε στον τραγουδιστή του τραγουδιού του τρίτου ατόμου στο πρώτο άτομο το τραγούδι του δεύτερου ατόμου.

Αν ήταν η Λαίδη Μαριάν αυτή που τραγούδησε το τραγούδι του Ρομπέν στο Γιαννάκη, τότε ποιος τραγούδησε το τραγούδι του Γιαννάκη στο Ρομπέν των Δασών; Ποιος τραγούδησε στη Λαίδη Μαριάν το δικό της τραγούδι;

Το πρόβλημα ανήκει στον Iraj Kalantari, καθηγητή του
Western Illinois University, ΗΠΑ και δημοσιεύεται στο βιβλίο αυτό με την έγκρισή του.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
«ΠΟΙΟΣ ΤΡΑΓΟΥΔΗΣΕ ΤΟ ΤΡΑΓΟΥΔΙ ΣΤΟ ΡΟΜΠΕΝ ΤΩΝ ΔΑΣΩΝ;»

Η ιδιότητα «τραγουδιστής τραγουδιού κάποιου ατόμου σε κάποιο άλλο άτομο» μπορεί να θεωρηθεί ως μια πράξη *, δηλαδή, «x * y = z» δηλώνει «το τραγούδι του χ τραγουδιέται στον γ από το Ζ». Έτσι:

1) η πράξη * είναι εσωτερική (το τραγούδι κάθε ατόμου τραγουδιέται σε όλους από κάποιον),
2) υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο (ο καλόγερος)
3) κάθε στοιχείο έχει το αντίστροφό του (ο σύντροφος)
4) η (υποχρεωτικά) αινιγματική τρίτη παράγραφος είναι η προσεταιριστικότητα της πράξης *.

Έχουμε λοιπόν μια δομή ομάδας. Όμως, 10.201 = 101 × 101 και ο αριθμός 101 είναι πρώτος, και κάθε ομάδα με τάξη τετράγωνο πρώτου αριθμού είναι αβελιανή.

Έτσι, ήταν η Λαίδη Μαριάν που τραγούδησε το τραγούδι του Γιαννάκη στο Ρομπέν των Δασών. Σχετικά με το δεύτερο ερώτημα, είναι αρκετό το γεγονός ότι υπάρχει δομή ομάδας επειδή έχουμε

Μαριάν = Ρομπέν * Γιαννάκης.

Υπενθυμίζουμε ότι η Μαριάν και ο Ρομπέν ήταν σύντροφοι και έτσι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε από αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο του Ρομπέν και να πάρουμε

Μαριάν * Μαριάν = Γιαννάκης.

Άρα, ο Γιαννάκης είναι αυτός που τραγούδησε στη Μαριάν το δικό της
τραγούδι.