ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Περιγραφή

Η επίλυση ενός προβλήματος στην επιστήμη και τη μηχανική ακολουθεί διάφορα στάδια. Το πρώτο στάδιο αφορά την διατύπωση του προβλήματος σε μορφή μαθηματικών εξισώσεων με βάση κάποιες παραδοχές. Η φάση αυτή καλείται μοντελοποίηση και δεν είναι αντικείμενο μελέτης του βιβλίου αυτού. Ακολουθεί η επίλυση των εξισώσεων του μοντέλου, η οποία μπορεί να είναι απλή ή πολύπλοκη.
Κάποιες κατηγορίες εξισώσεων (συνήθως γραμμικές) έχουν αναλυτική λύση, η οποία μπορεί να βρεθεί με αναλυτικές μεθόδους. Ωστόσο, η πλειοψηφία των προβλημάτων που συναντώνται στην πράξη δεν επιδέχονται αναλυτική λύση, ή η αναλυτική λύση που υπάρχει απαιτεί υπολογισμούς που είναι δύσκολο αν όχι αδύνατο να γίνουν (φανταστείτε να προσπαθείτε να επιλύσετε αναλυτικά ένα σύστημα 100 γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με 100 αγνώστους!).
Η ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών κατέστησε δυνατή, μεταξύ άλλων, την επίλυση προβλημάτων που δεν επιδέχονται αναλυτική λύση και διευκόλυνε την εκτέλεση υπολογισμών που αλλοιώς θα ήταν αδύνατοι. Η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων στηρίζεται στην ύπαρξη μεθόδων που επιτρέπουν την επίλυση σύνθετων προβλημάτων στη βάση μιας αλληλουχίας στοιχειωδών μαθηματικών πράξεων που μπορούν να προγραμματιστούν στον υπολογιστή. Αυτές οι μέθοδοι είναι γνωστές ως αριθμητικές μέθοδοι. Το αντικείμενο του βιβλίου είναι η θεωρία και η εφαρμογή μερικών βασικών αριθμητικών μεθόδων με σκοπό την επίλυση πολύπλοκων μαθηματικών εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν πραγματικά προβλήματα σε διάφορα πεδία της επιστήμης και της μηχανικής.
Η προσέγγιση που ακολουθείται στο βιβλίο είναι η εξής: γίνεται εστίαση σε γενικές κατηγορίες μαθηματικών προβλημάτων (εξισώσεων) που προκύπτουν από πραγματικά προβλήματα και συζητώνται κατάλληλες αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυσή τους. Η αξιολόγηση των μεθόδων αυτών βασίζεται κύρια σε θέματα ταχύτητας υπολογισμών, απαιτήσεων μνήμης του υπολογιστή και ακρίβειας της λύσης. Για κάθε αριθμητική μέθοδο συζητείται ο αντίστοιχος αλγόριθμος, δηλαδή η αλληλουχία των απλών βημάτων που πρέπει να εκτελέσει ο υπολογιστής κατά την εφαρμογή της μεθόδου. Τέλος, καλύπτεται ο προγραμματισμός του κάθε αλγορίθμου, δηλαδή η μετατροπή του σε μια σειρά εντολών που να μπορεί να “καταλάβει” ο υπολογιστής. Για το τελευταίο απαιτείται η υιοθέτηση μιας γλώσσας προγραμματισμού (FORTRAN, C, κλπ) ή ενός περιβάλλοντος προγραμματισμού (MATLAB, Mathematica, κλπ). Στο βιβλίο αυτό υιοθετείται το υπολογιστικό περιβάλλον MATLAB το οποίο έχει καθιερωθεί παγκόσμια ως μια εύχρηστη πλατφόρμα υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων για προβλήματα μικρής και μεσαίας πολυπλοκότητας σαν αυτά που θα αντιμετωπισθούν. Η εξοικείωσή σας με το MATLAB θα σας φανεί χρήσιμη και ευρύτερα, καθώς το υπολογιστικό αυτό περιβάλλον έχει υιοθετηθεί σε πολλά πεδία (π.χ. Φαινόμενα Μεταφοράς, Ρευστοδυναμική, Δυναμική και Ρύθμιση Συστημάτων, Επεξεργασία Σημάτων κλπ).