ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ – ΤΟΜΟΣ 9

Description

Το παρόν ϐιβλίο είναι µια εισαγωγή στις Στοχαστικές διαδικασίες. Το αντικείµενο των Στοχαστικών Ανελίξεων είναι σύγχρονο, καθώς έχει γνωρίσει µεγάλη άνθηση τον προηγούµενο αιώνα και έχει ευρύτατο φάσµα εφαρµογών σε επιστήµες Μηχανικών, την Πληροφορική, την Οικονοµία, τη Βιολογία κ.α.
Η δοµή του βιβλίου έχει ως εξής : χωρίζεται σε τρία µεγάλα µέρη. Το πρώτο µέρος αφορά τη θεωρία των Στοχαστικών Ανελίξεων και στο δεύτερο µέρος παραθέτουνµε υποδειγματικά λυµένα προβλήµατα, περισσότερα από 180 στον αριθµό. Το τρίτο µέρος περιλαµβάνει υποδειγµατικά λυµένες πρόσφατες εξεταστικές από τη Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών (ΣΕΜΦΕ) του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου.
Το µέρος της θεωρίας αποτελείται από δύο µεγάλες ενότητες : τις Μαρκοβιανές διαδικασίες συνεχούς χρόνου (CTMC) και τις Μαρκοβιανές διαδικασίες διακριτού χρόνου (DTMC). Στην πρώτη ενότητα µας απασχολούν οι διαδικασίες Gauss, Brown (διαδικασία Wiener) και Poisson. Στη δεύτερη ενότητα, αναπτύσσουμε τη θεωρία των Μαρκοβιανών ανελίξεων (Markov chains) διακριτού χρόνου σε αριθµήσιµο χώρο καταστάσεων και ειδικότερα, µελετούµε έννοιες όπως επαναληπτικότητα/παροδικότητα, περιοδικότητα/απεριοδικότητα, χρόνοι άφιξης, γνήσια και κενή επαναληπτικότητα, αναλλοίωτη και οριακή κατανοµή και τέλος, παρουσιάζουμε δύο ϐασικά εργοδικά θεωϱήµατα.
Τα υποδειγµατικά λυµένα προβλήµατα που παρατίθενται στο δεύτερο µέρος του βιβλίου είναι κατηγοριοποιηµένα ανά θεµατική ενότητα, σε κεφάλαια : διαδικασίες συνεχούς χρόνου, τυχαίοι περίπατοι και Μαρκοβιανές διαδικασίες διακριτού χρόνου.
Να τονίσουµε ότι µέρος τους έχει αποτελέσει υλικό εξετάσεων σε Μαθηµατικές και Πολυτεχνικές σχολές. Επιπλέον, κάθε κεφάλαιο έχει στο τέλος ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος, για πληρέστερη εµπέδωση της ύλης, πλήρεις απαντήσεις των οποίων περιέχονται στο σχετικό Παράρτηµα. Να σηµειώσουµε ότι το δεύτερος µέρος του παραρτήµατος αφορά τη µεθοδολογία επίλυσης εξισώσεων διαφορών πρώτης και δεύτερης τάξης, που συναντούµε συχνά στις ασκήσεις.
Να σηµειώσουµε ότι προϋποθέτουµε κάποιες βασικές γνώσεις σε Απειροστικό Λογισµό (infimum, supremum, ακολουθίες και σειρές), Γραµµική ΄Αλγεβρα (πίνακες, διαγωνοποίηση και Jordan κανονική µορφή), Πιθανότητες (µέτρο πιθανότητας, διακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, κατανοµές, µέσες τιµές, διασπορές, κλασικές συνεχείς και διακριτές κατανοµές : κατανοµή Bernoulli και Poisson, ∆ιωνυµική και Γεωµετρική κατανοµή, Εκθετική και Γάµµα κατανοµή, Κανονική κατανοµή) και Θεωρία Πιθανοτήτων (κεντρικό οριακό ϑεώρηµα, ισχυρός νόµος µεγάλων αριθµών).